[ruby-dev:5816] Re: Precision in Mathematica (Re: Bigfloat)

ごとけんです

In message "[ruby-dev:5811] Re: Precision in Mathematica (Re: Bigfloat)"
    on 99/03/01, EGUCHI Osamu <[e-mail]> writes:

>gotoken> んが，この精度の実現を厳密に行うならば実装は複雑です．とは
>gotoken> いうものの妥協案の提示も難しそうです．
>
>演算後に得られた値に対しての精度の計算方法が
>問題になりそうだと言う事ですね。

ですね．石塚さんの4つの案を検討中です．

# ちなみにワタクシの精度に関する気持の変化を表明して
# おきますと，Integer と Rational は誤差が0という意味で
# 無限精度だというのを認めますです(^^;;
# ただし，豊福さんが例としてあげた RationalOddDenomi 
# とかも同様なんですが，なにか Integer や Rational に
# 対しては歯抜けのような印象をいまだにもってます．
# どう頑張っても計算可能な範囲では歯抜けは必至なんだけど．

Mathematica の SetPrecision や SetAccuracy は
必要なのかというのと，Rational.induced_from(float) の
動作がどうあるべきかなどを決め兼ねています．

Bigfloat を頑張って組み込みにするなら(Math も頑張る必要が
あります)，Bigfloat か Doublefloat を返す Numeric に
set_prec や set_accuracy があっても良いような気もしますし，
Rational.induced_from(float) はリテラルとの相性を踏まえ
float の仮数10進16桁に対して行ったほうがよいような気も
してます．

また Rational.induced_from(complex) はどうするのかという
問題もあります．ちなみに Mathematica の Rationalize[complex] は
我々(?)の考える complex.prec(Rational) 相当で，実部と虚部を
Rational にします．それと，PI なんてものが現れた場合に備え
Rational.induced_from もしくは Rational[] で許容誤差を
与える方法も考えなければなりません．今までの案では関数の
オプションがもっとも適切に見えます．

>gotoken> 0. 型と評価
>...
>gotoken>   Mathematica は与えられた表現を可能な限り知っている規則
>gotoken>   で変形し続けるシステムで，この変形のことを評価と言います．
>gotoken>   変形できなくなった時点でそれを値として返します．

あ，これは，Mathematica は関数型言語なので coerce モデル
の参考にはならないということを予め断っておくつもりでした :-)

>これに対しての意見は、山程有りますが、
>今の時点での意見を要約すると、
>
>  パターンによる変形／変換は Bigfloat ではなく
>  ほかのクラスでの実現になるべきだ。
>
>  Bigfloat は、そのクラスの存在と整合すれば良い。

もっともです．パターンと精度の問題は関係ないです．
遅延評価の取り込み方には興味がありますが．

>ruby でこれらの定数が、どのクラスに属するかを
>考えるだけで、かなりの深い配慮が必要ですね。
>
> Math, Numeric 、、まさか Object や Kernal ではないし。、、

Ruby 的には Real かな?? もしくは Math モジュールかも
知れませんが．今は考えてません．

>＃直観的には Accuracy の符合は逆の方が良いかも。

そうですか??
Precision - Accuracy > 0 だからもしこれらを何らかの
形で採用するにしても符号に違和感は感じません．

>あのぅ、四則の精度の計算方法を教えて下さい ^^;;;
>
>加減算は、
>	和（差）の最下位有効桁は、
>	最下位有効桁大きい方の最下位有効桁になる
>
>乗除算は、
>	積(商)の有効数字は、
>	有効数字が小さい方の有効数字
>になる。
>
>で良いのでしたっけ？
>桁上がりって関係有りましたっけ？

そんな気もしますが自信ないです．加減は単調なので
いいんですが乗除算は0をまたぐところで単調性が
崩れるので，面倒な気がします．
一般に非線形な演算は極値の影響を考慮しないと
いけないので厄介です．

# だれか
# J.H. Willkinson, ``Rounding errors in algebraic process'',
# Prentice-Hall, 1963 (邦訳)『基本演算における丸め誤差解析』，
# 培風館をお持ちの方いませんか??

>gotoken>                                             機械精度の数だけは
>gotoken>   例外で表現が機械精度に感染するとそれ以降を全て機械精度で評価
>gotoken>   します．これはパフォーマンスのための選択であり納得できます．
>
>これが、Bigfloat から Float への降格ですね。

ですね．これは採用しても良いと思います．
これは Bigfloat の仮数は少なくとも10進17桁であることも
意味します．こういうのは正規化との兼ね合いがムズいんですが．

-- gotoken