From: gotoken@... (GOTO Kentaro)
Date: 1999-03-24T00:51:55+09:00
Subject: [ruby-list:13112] Re: signal handler in Ruby ( was Re: Ruby Conference 0.3 where ? when ? )

ごとけんです

In message "[ruby-list:13090] Re: signal handler in Ruby ( was Re: Ruby Conference 0.3 where ? when ? )"
    on 99/03/23, 石塚圭樹 <keiju@Rational.Com> writes:

>けいじゅ＠日本ラショナルソフトウェアです.
>
>私が知らないうちにめちゃくちゃ盛り上がっていましたね(^^;;;

しょーもない(ありがちな)盛り上がり方をして申し訳ないです(__;;

>>->ちゃちゃですが(^^;;;
>さらにチャチャですが

さらにダメ押しですが

>>稠密は位相空間の部分集合の性質です．
>
>いや. 知っているんですけどね. 正確な定義をいってもね...

(__;;;

ただ，二点の間に少なくとも他の一点があるという定義では
めちゃめちゃ誤解されそうな感じがしたので…

>>すよね。多くの人に意味が分からないし、この説明を読んで意味の分
>>かる人はもともと読まなくても分かっているのではないか、、、(^^;;
>
># 同感だなあ...

(__;;;;;;;;;;;

結局，Xの部分集合Sの性質「SがXで稠密」とは，

 「Sの点だけを跳び移っていくことで
   Xのどの点にでも好きなだけ近寄れる」

といういいかたで理解するのが無難かと思います．
3次元(ユークリッド)空間とかでも通用するし．

# 最初からこう言えばよかったのかも (^^;;
# でも，全順序集合の稠密性を知ることができたのは収穫 (^^;;;;
# 使いそうにないけど (^^;;;;;;;;

>>私も今回、数学辞典で確認したんです。(^^;
>>あまりポピュラーじゃないですよね。順序位相による部分集合の稠密
>>性とかぶって気持ち悪いし。
>
>あれ? 同値になりません? そういうつもりだったんだけど...

たぶん「部分集合の」稠密性というのとカブるのが気持悪いのだと
思います．順序集合の稠密性は順序集合それ自身の性質なので．

-- gotoken


# 「実数の中の有理数」みたいな全有界でない集合を例に挙げると
# 閉包とは何かに至ったとき「全体は開かつ閉」というややこしい
# 事情を説明しないといけないので誘導としては面倒です (^^;; 


# 実数に限ると，
# 
#  * 有限集合 F (例えば1点のみの集合 {0}) は F 自身で稠密
#
#  * 実数全体の任意の部分集合 S は S で稠密
# 
#  * A := {1/n + sqrt(2): n は整数} について，
#    「A + {sqrt(2)} で A は稠密」 
#    # 注意: 任意の整数 n について |1/n| > 0 より，a in A ならば 
#    # |a-sqrt(2)| > 0 なので sqrt(2) は A に属さない
# 
#  * 「閉区間 I := [0,1] に属する有理数全体の集合 Q' が I で稠密」
# 
#  * 「閉区間 I := [0,1] に属する無理数全体の集合 I-Q' が I で稠密」
# 
# の5例が稠密らしさ(濃度に依存しないこと，閉包が含むこと，補集合も
# そうであり得ること)を，かもしだしてるような気がします．


# ここまで来たので定義を書いてしまうと，
# 「X の部分集合 S が X で稠密」とは，S の閉包が X を含むことで，
# S の閉包とは，S を含む最小の閉集合のことです．
#
# 閉集合 F は，(たいてい)次のような性質を満たします: 
# 「F から任意にとった収束する点列の収束先が F に属する」．
#
# 上の A の場合，1/n + sqrt(2) の収束先 sqrt(2) は A には
# 属さないので A は閉ではないけど，収束先 sqrt(2) を加えて
# やることで閉集合になります．
#
# 閉区間 [0,1] 内の有理数も同様に，無理数を加えてやると閉集合になり，
# しかも，これは閉包になっていて，かつ，閉区間 [0,1] と一致するので，
# [0,1] 内の有理数は [0,1] で稠密です．
# 同じ議論から [0,1] 内の無理数も [0,1] で稠密だとか，[0,1] 自体も 
# [0,1] で稠密なことがわかります．
#
# うえの閉集合の性質で「(たいてい)」と言ったのは，例えば実数全体 R は
# 上の性質を満たさないものの閉集合と定義されているからで，R は
# 有理数全体 Q の閉包になっていて，Q は R で稠密です．


# 英語だと，
#
# 全順序集合 C が
# for all a,b in C there exists x in C (a < b ==> (a < x < b))
# を満たすとき C は dense-in-itself といい，
#
# C の部分集合 S が
# for all a,b in C 
#    there exists s in S (a,b not in S & a < b ==> (a < s < b))
# を満たすとき S は order-dense というそうです．# 変なの!!
#
# こないだのメールではこの二つを間違えました(__;;


# 全順序集合の稠密性は位相空間における部分集合の稠密性
# からするとすごく奇妙です．原さんもいってるように多分ポピュラーでは
# ありません．(旧)教養課程の解析学において，稠密ということばが
# この意味で使われるのは，おそらく実数の構成のところで出てくる
# 「有理数の稠密性」だけだと思います．
#
# 有理数の稠密性が，位相における稠密と違う意味で使われてることは，
# いまイッショーケンメイ思い出して初めて気がついたのでした (^^;;

## って，もはや，どうでもよい世界かも(汗；