[ruby-dev:1781] Re: infinity

けいじゅ＠日本ラショナルソフトウェアです.

何か数学の話しになっていますが...

In [ruby-dev :01780 ] the message: "[ruby-dev:1780] Re: infinity ", on
Mar/14 02:20(JST) Shugo Maeda writes:

>前田です。

>僕が気持ち悪いと思ったのは、
>
>Infinity * 0
>
>という演算が、
>
>Limit[x * 0, x -> Infinity]
>
>ではなく、
>
>Limit[x * y, x -> Infinity, y -> 0]
>
>と解釈されている点なんです。

>前者ならf(x) = x * 0でxをいくら大きくしてもf(x)は0ですから、
>極限値は0ですよね?

えーと. これはですね... 一応深い意味があるんです.

まず,

  Limit[f(x, y), x -> a, y -> b]

が収束するなら, どのような方法で極限をとっても同じ値になります. 

  Limit[f(x, y), x -> a, y -> b]
    =  Limit[Limit[f(x, y), x -> a], y -> b]
    =  Limit[Limit[f(x, y), y -> b], y -> a]
    ...

つまり,

  1 / ∞ = 0

は十分自然な定義です. で, これを定義することによって0は, ただの0ではな
くなって x -> 0という意味になります. そうすると,
  
  0 * ∞

は,

  Limit[x * y, x -> Infinity, y -> 0]

で考えなくてはならなくなるんです. だから, 0 * ∞ は不定と考えるのが自
然なんです.

0 * ∞ == 0 とすると, 何が起こるかで分かると思います.

  0 = 0/∞ =  (1 * ∞ ) / ∞ = 1

となって矛盾しちゃいますよね?

もう1つこれはfloatだけにいえるることですが... 0.0は0に極めて近い数とい
うだけで0とは限りません. そういう意味でも0は極限を取らないと行けないん
です.

>ここで言いたいのは前者と解釈されるべき、ということではなくて、
>前者と解釈されるべきか、後者と解釈されるべきかは決められないの
>ではないか、ということです。
># だから例外、というのなら妥当だと思います。

いや. そのとおりなんです(^^;;;

極限の取り方によって値が変わるようなものは, 例外とする極めて保守的な定
義を提案しているんです.

>やはり理想的には極限値の計算はMathematicaみたいに明示的に
>するべきなんでしょうね。

半分はあったっていますが, 半分は間違っています. 先ほどもいいましたが, 
私がいっている定義は一番安全な定義なんです. この方法で収束するものはど
のようにやっても同じ値になります.

収束しないものは, 極限の取り方によって任意の値にできるので, むりせず例
外にしているわけです.

>とはいえ実用性を考えれば、[ruby-dev:1778]の石塚さんの定義が
>妥当なのではないかと思います。

私自身, モデル的にはあまり自然でないと思っているのですが, Inf/NaNと同
じ動作になっているので(なっていますよね?), それなりの実用的意味になっ
ているんですかね...

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................................石塚 圭樹＠日本ラショナルソフトェア...
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